Gitarre und Musiklehre, U. Meyer

Die natürlichen Halbtonschritte

Die Stammtöne, die auf der vorigen Seite vorgestellt wurden, haben eine Eigenschaft, die man ihnen nicht ansieht: sie sind nicht gleich weit von einander entfernt. Zwischen zwei Noten liegt entweder ein Ganztonschritt oder ein Halbtonschritt. Dabei sind zwei Halbtonschritte logischerweise so groß wie ein Ganztonschritt.
Man nennt die "natürlichen Halbtonschritte" so, weil man für sie keine Vorzeichen braucht.
Der Grund für ihre Existenz ist schlicht die Physik, die Auswirkungen sind musikalisch: die beiden klingen verschieden.

Die natürlichen Halbtonschritte liegen zwischen den Tönen e - f und h - c.

Die sieben Stammtöne (der achte heißt so wie der erste), die unsere Musikkultur benutzt, heißen
c - d - e - f - g - a - h - c.
Hier sind die Halbtonschritte in der Reihe von c bis c unterstrichen. Alle anderen Töne sind einen Ganztonschritt oder zwei Halbtonschritte von einander entfernt.

Inhaltliche Auswirkungen

natürliche Halbtonschritte

Die Tatsache, dass die Abstände zwischen Tönen nicht gleichmäßig sind, sondern ungerecht verteilt, macht die Musik! Hier liegt die Ursache für verschiedene Tonleitern, für unterschiedlich klingende Akkorde, für Spannung und Entspannung - die meiste Musik ist so, wie sie ist, weil es diese komischen Halbtonschritte gibt.
Man muss sie sich also merken.

Gitarristen merken sich: die natürlichen Halbtonschritte finden sich auf den beiden höchsten Saiten! Bei einem Halbtonschritt liegen die Töne auf einer Saite auf direkt benachbarten Bünden, bei einem Ganztonschritt bleibt ein Bund dazwischen frei.

Wer eine Klaviertastatur kennt weiß, dass zwischen den genannten Tönen die schwarzen Tasten fehlen: dort sind die Halbtonschritte. Auch wenn man auf Blockflöten und Posaunen die Halbtonschritte nicht sehen kann: Man hört sie trotzdem!

Tastatur

Woher die Halbtonschritte kommen versuche ich im nächsten Abschnitt zu erklären, welche Rolle sie in der Durtonleiter spielen steht hier.

Der Tonvorrat

Woher kommen eigentlich die Stammtöne mit den Halbtonschritten an bestimmten Stellen?

Überall in der Musiktheorie wird die Stammtonreihe c - d - e - f - g - a - h - c vorausgesetzt. Man kann die Töne mit und erhöhen und erniedrigen und einfach alles vom Wohltemperierten Klavier bis zum Freejazz mit ihnen machen - aber woher kommt eigentlich dieser Tonvorrat?

Zunächst mal gibt es kulturelle Grundvoraussetzungen: Welches Tonmaterial eine Musikkultur benutzt ist Geschmackssache - in Indien oder Indonesien gibt es Tonleitern, die uns hier sehr fremd vorkommen.
Schon die alten Griechen haben unsere Stammtöne gekannt und ein gewisser Pythagoras hat mit Obertönen experimentiert, und über die Obertonreihe kann man den Tonvorrat auch herleiten.

Dass die Stammtöne c - d - e - f - g - a - h heißen ist natürlich eine Übereinkunft. In Frankreich sagt man do, re, mi, fa, sol, la, si, auf englisch C, D, E, F, G, A, B.

Neue Töne finden

Oktavoberton und Oktavquinte

Die Herkunft unseres Tonvorrates kann man mit Obertönen erklären. Der erste Partial- oder Teilton eines Tones ist der Grundton selbst (wenn man von der Obertonreihe spricht, wird der Grundton nicht mitgezählt), der zweite seine eigene Oktave, also quasi derselbe Ton. Wenn man aus dem Grundton die Oktave ableitet, inden man eine Saite in der Mitte berührt und so den zweiten Partialton erzeugt, kommt man also nicht zu einem neuen Ton.

Der dritte Partialton aber ist der erste Verwandte, der nicht dem Grundton selbst entspricht: die Oktavquinte.

Man findet sie, indem man eine Saite im Drittellungspunkt sanft berührt und eher fest anschlägt. Man kann übrigens ruhig beide Drittelungspunkte berühren - die Saite wird trotzdem in Dritteln schwingen und die Oktavquinte produzieren.

Quintenstapeln

Man erzeugt also über einem ersten Ton seine Oktavquinte, und über diesem neu gefundenen Ton dessen Oktavquinte und so weiter. Damit die Töne nicht schnell zu hoch werden, legt man "den Neuen" eine oder zwei Oktaven tiefer. So erhält man über den nächst möglichen Verwandten jedes Tones die in unserer Kultur genutzten Töne der Reihe nach. Am Ende legt man sie alle in eine Oktave und ordnet sie der Tonhöhe nach, damit das Ergebnis wie eine Tonleiter aussieht.

Achtung: da es sieben Stammtöne gibt, erhält man als siebte Quinte das fis, wenn man bei c beginnt. Wenn man bei f anfängt, erhält man die Stammtöne, also die Töne ohne Vorzeichen.

Über dem f findet man als dritten Partialton das c, über dem c findet man auf die gleiche Art ein g, darüber das d, darüber das a, dann folgt das e und schließlich das h. Schiebt man die gefundenen Töne in einen Oktavstreifen, erhält man die Stammtonreihe.

Entstehung der Stammtonreihe

Schwingungen pro Sekunde oder Hertz

Die Halbtonschritte zwischen e - f und h - c ergeben sich einfach aus den physikalischen Tatsachen. Jeder Ton, der über die Quintenabfolge erreicht wurde, hat ja eine bestimmte Tonhöhe oder Frequenz, die in Schwingungen pro Sekunde oder Hertz angegeben wird, und die Halbtonschritte liegen eben dichter bei einander, während bei den Ganztonschritten immer noch ein weiterer (durch Kreuz oder herzustellender) Halbton dazwischen passt. Die Tonhöhen der eingestrichenen Oktave in Hertz sehen so aus:

Frequenzen

Man sieht recht schnell, dass die Abstände in Hertz zwischen den Tönen unterschiedlich groß sind: zwischen c' und d' liegen 32 Hertz, zwischen d' und e' schon 36. Das ist logisch: Da sich die Frequenz mit jeder Oktave verdoppelt, gibt es von einer Oktave zur nächsten doppelt so viel "Platz". Von c' nach c'' sind es 261,6 Hz, von c'' zum c''' 523,3.
Aber die Töne e' und f' sind nur 19,6 Schwingungen pro Sekunde von einander entfernt, etwa halb so viel wie der vorhergehende Ganzton, und der folgende wird dann mehr als doppelt so groß sein, nämlich 42,7 Hertz.
Die Halbtonschritte in der Stammtonreihe sind also schlicht eine physikalische Tatsache.

Hier eine Darstellung der Stammtonreihe von C aus über zwei Oktaven mit den natürlichen Halbtonschritten:

Stammtonreihe über 2 Oktaven

An anderer Stelle gibt es einen Versuch, die Stammtöne grafisch mit Hilfe von Zollstock, Klaviatur und Gitarrengriffbrett darzustellen.

Natürlich kann man auch alle zwölf Halbtonschritte unseres Notensystems durch das "Stapeln von Quinten" hervorbringen. In der Grafik unten bin ich beim tiefsten c der Klaviatur angefangen und habe die Oktavquinten direkt in Quinten umgewandelt. Nach dem fis folgen die anderen hochalterierten Töne, denen ich jeweils als kleine Note die enharmonische Verwechslung beigesellt habe. Die letzten Töne sind eis'''' und his'''', die man auf der Klaviatur auch als f'''' und c''''' bezeichnen kann, allerdings finde ich wichtig, sie zunächst mit ihrem "richtigen" Namen anzureden, denn vom ais''' zum f'''' ist es keine Quinte, sondern eine verminderte Sexte, aber das ist eine andere Geschichte...

Quintenstapeln 2

Mit diesem Stapeln von Quinten handelt man sich ein ganz anderes Problem ein: wenn man zwölf reine Quinten übereinanderstellt, und daneben einen entsprechen hohen Stapel Oktaven, dann ist der Quintenstapel etwas höher. Das am Ende erreichte his'''' entspricht eben nicht dem c'''''. Die reine Quinte der Obertonreihe ist etwas größer als die unserer gleichschwebend temperierten Stimmung, man berührt hier also die Problematik der Stimmungssysteme, die ich nur kurz bei den Feinheiten der Gitarrenstimmung angesprochen habe.

Die Obertonreihe oder Partialtonreihe

Die mehrfach erwähnte Oberton- oder Partialtonreihe ist also quasi eine Grundlage der musikalischen Akustik.

Was es mit ihr auf sich hat? Wenn man einen Ton hört, hört man so gut wie nie nur einen Ton. Jedes Instrument, jeder Klangkörper erzeugt außer dem Grundton, den wir vor allem wahrnehmen weitere Frequenzen, die auch hörbar sind, wenn man sich sehr konzentriert und die Bedingungen gut sind. Welche Obertöne bei einem Instrument besonders hervortreten ist entscheidend für dessen Klangfarbe. Auf Grund der produzierten Obertöne klingt eine Oboe eben wie eine Oboe und nicht wie eine Klarinette.

Die Menge der wahrzunehmenden Obertöne und ihre Stärke entscheidet über die Wahrnehmung einer eher warmen oder kühleren Klangfarbe. Die Gitarre hat einen deutlich wärmeren Ton als ein Klavier (wenn die Saiten nicht total abgespielt sind und nach Gummiband auf Zigarrenkiste klingen), und ein Cembalo, obwohl ein Tasteninstrument, ist klanglich doch nahe bei Gitarre oder Westerngitarre einzuordnen. Wenn man mal eine (elektronisch erzeugte) reine Sinusschwingung hört, die eben keine Obertöne hat, hat man das Gefühl von Kälte und Hohlheit. Eine Querflöte erzeugt deutlich andere (weniger) Obertöne als andere Holzblasinstrumente, und hat deshalb nicht den reichen Ton eines Saxophons.

Obertöne in der Sprache

Auch unsere Sprache funktioniert nur dank der Obertöne - wenn es sie nicht gäbe, würden wir uns vielleicht mit Morsezeichen verständigen...

Jeder Klang unserer Sprache klingt wie er klingt, weil dabei bestimmte Obertöne erzeugt werden. Diese müssen aber innerhalb eines bestimmten Tonhöhenbereiches liegen, der "Formantregion" heißt. Sopranistinnen singen teilweise so hoch, dass man sie nicht mehr verstehen kann. Das liegt daran, dass die Obertöne, die darüber entscheiden, ob man u, i und ü auseinander halten kann so hoch liegen, dass eine Differenzierung nicht mehr möglich ist.

Wenn man einzelne Vokale und die Übergänge zwischen ihnen oder Konsonanten wie n oder ñ in tiefer Lage singt, kann man Obertöne hören und durch Veränderung der Mundstellung von einem zum andern wandern. Man braucht dazu Ruhe, eine gute Akustik hilft, und losprusten ist verboten.
Natürlich lassen sich Obertöne wunderbar mit Saiteninstrumenten produzieren.

Obertonreihe

Oktavstreifen

Zwischen den Noten stehen Taktstriche: sie grenzen die Oktavstreifen von einander ab. Im ersten Oktavstreifen findet sich nur der Grundton, im zweiten die Oktave des Grundtons und die Oktavquinte. Im dritten Oktavstreifen stehen vier Töne: lila eingefärbt die Töne des Durdreiklangs, sowie die kleine Septime. Im nächsten Oktavstreifen stehen dann 8 Töne, und im folgenden wären 16 Töne zu finden. Die Anzahl verdoppelt sich mit jeder Oktave, und die Reihe ist nach oben theoretisch bis in den Bereich des Ultraschalls fortsetzbar.

Die Töne, über denen ein Pfeil steht, sind deutlich tiefer oder höher als die entsprechenden Töne auf einem gleichschwebend gestimmten Klavier. Der 13. Partialton wird häufig als " a mit " wiedergegeben, er liegt aber tatsächlich näher am as. Schon die große Terz (5. Partialton) ist deutlich tiefer in dieser "reinen" Stimmung als in der temperierten. Die kleine Septime, auch als "Natursepte" bezeichnet, klingt merkwürdig konsonant und in sich ruhend, wesentlich weniger dissonant, als man es sonst von kleinen Septimen gewohnt ist.

In der Zeile "Oberton" beginnt die Zählung nach dem Grundton. In der Zeile "Partialton" darunter zählt der Grundton als 1. Partialton, die Oktave als zweiter usw. Das hat den Vorteil, dass damit gleichzeitig die Schwingungsverhältnisse impliziert sind, die in der untersten Zeile "schwingende Saitenlänge" als Bruch angegeben sind: Beim Grundton schwingt die gesamte Saite (oder Tonsäule bei einem Blasinstrument).

Das Grundton-C schwingt mit 66 Hertz (die Saite schwingt 66 Mal in der Sekunde). Wenn man die Saite in der Mitte leicht berührt, erzeugt man den 2. Partialton, also die Oktave: die halbe Saite schwingt doppelt so schnell (132 Hz). Der Drittelungspunkt findet sich auf einer Gitarre beim siebten und beim 19. Bund. Wenn man eine Saite hier berührt, schwingt die Saite nur mit Drittellänge, und der 3. Partialton, die Oktavquinte, ist zu hören (Man kann die Saite gerne beim 7. und 19. Bund gleichzeitig berühren und anschlagen - die drei Drittel der Saite schwingen trotzdem!). Dieser erste Ton, der nicht mehr dem Grundton entspricht, ist der viel zitierte "nächste Verwandte", den man für den Quintenzirkel und alles Mögliche bemüht.

Zwischen 4. und 5. Partialton liegt die große, zwischen 5. und 6. die kleine Terz, ebenso sind große und kleine Sekunden zu finden. Quinten, Quarten und Oktaven gibt es aber nur als "reine" Intervalle. Dass man die Intervalle in zwei Gruppen einteilt, nämlich solche, die nur als "reine Intervalle" auftreten und andererseits die "groß / kleinen" Intervalle, beruht also auch auf den physikalischen Gegebenheiten der Obertonreihe. Und die ist nun mal ein ähnlich grundlegendes Phänomen wie die Farbabfolge im Regenbogen.